【事前学習】高校の行列、一次変換の基礎事項、ベーシックは 1-1〜1-3節、エキスパートは2-1〜2-2節を学んできてください。
座標変換(補足)
Coordinate Transformation
エキスパート2023年前期 第2問
- $z$軸回りに$-90$°回転(右ねじ回転が正)と$x$軸方向に2平行移動。順序は回転、平行移動。行列表現では右から左へ順に変換が適用される。
- 回転が合うのはウだけ。最後に$z$方向に平行移動するのも合っている。
- 回転が合うのはイだけ。最初に$y$方向に平行移動するのも合っている。
- エだけが、回転軸が$x$軸、平行移動も$x$軸方向で、回転軸と平行移動の方向が共通している。
(公式問題集の補足解説)
エキスパート練習問題1第1問 (p.10)
- X方向の正の方向に平行移動 → $c=正の数, f=0$
変形がない → 3×3行列の要素のうち $abde=1001$(単位行列)
答えは$M_1$(ア) - Xの正の方向への平行移動と$+45^\circ$回転の合成
平行移動と回転はどっちが先か?
回転は原点中心なので、平行移動→$+45^\circ$ だとリンゴの中心はX軸から外れるので誤り
正解は $+45^\circ$回転→平行移動
$+45^\circ$回転は一見して $M_5$または$M_6$、正の回転(反時計回り)なので3×3行列の$b=-\sin\theta<0$となっている $M_5$
つまり $M_5$→$M_1$
ただし変換行列は $P'=M_1 M_5 P$ というように右から順にかかっていく
よって合成変換は $M_1 M_5$ (ア) - X方向への平行移動→$+90^\circ$回転 または $+90^\circ$回転→Y方向への平行移動
回答群にあるのはX方向への平行移動→$+90^\circ$回転 つまり $M_1$→$M_4$
ただし変換行列は $P'=M_4 M_1 P$ というように右から順にかかっていく
よって合成変換は $M_4 M_1$ (オ) - Y軸対称、Yの正の方向への平行移動、$+90^\circ$回転の合成
c.を更にY軸対称して得られるので$M_3 M_4 M_1$(ウ)
エキスパート練習問題2第1問 (p.36)
- 赤丸がy軸の正の方向、黒丸がx軸の正の方向にくる。
- 赤丸に着目するとア、ウだとx軸の負の方向にくることから誤答。黒丸に着目するとアだとy軸の負の方向にくる、イだとx軸の正の方向にくることから誤答。
- アはz軸回転、イはx軸回転、ウ、エは座標軸回転ではない。
- x軸-90°回転なのはアとイ。行列はz軸方向への平行移動だが図ではy軸方向に移動している。そのためには先に平行移動して回転するアが正解。変換は後ろの行列から順に行われる。ウ、エはz軸回転なので誤答。
エキスパート練習問題3第1問 (p.62)
- たとえば1の目に着目すると変換後x軸の正の方向にくる。
- 平行移動は無視して回転のみに着目するとイまたはエに絞れる。このうち平行移動が正しいのはイ
- z軸90°回転なのはアとイ。このうちy軸の負の方向への平行移動が先なのはア。
- x軸-90°回転なのはイとエ。平行移動があとになるように考えるとz軸の正の方向へ平行することと等価なのでエ。
ベーシック第1問 (p.86)
- 座標変換式に代入して$(x,y)=(2,0)$→$(x',y')=(2,0)$、$(x,y)=(0,2)$→$(x',y')=(2,2)$$(x,y)=(2,2)$→$(x',y')=(4,2)$となるものを見つける。変換式を見れば、どういった図形変換かわかるようにしておく。X方向へのせん断(スキュー)なのでy座標は不変なアだとわかる。
- X方向に1/3、Y方向に1/3拡大縮小して、Y方向に-1平行移動。座標変換式に代入して$(x,y)=(3,3)$→$(x',y')=(1,0)$となるものなどを絞っていく。
アフィン変換
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{1}{3}x\\ y'=\frac{1}{3}y-1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $ $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{1}{3}x +0y +0\\ y'=0x +\frac{1}{3}y -1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} &0\\0 &\frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$
アフィン変換の同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} &0 &0\\0 &\frac{1}{3} &-1\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
- 軸対称と平行移動だけでは、赤と白の位置が入れ替わらない。
エ.のアフィン変換の同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &5\\0 &1 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &-1 &0\\1 &0 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &-1 &5\\1 &0 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
- 回転の前に原点を通るように平行移動する必要がある。
アフィン変換
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x'=x+y\\ y'=y \end{array} \right. \end{eqnarray} $ $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x'=1x +1y +0\\ y'=0x +1y +0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &1\\0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
アフィン変換の同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &1 &0\\0 &1 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
ベーシック24年前期27問の変換式
Transformation Equation in Basic Question
a.のアフィン変換
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x+5\\
y'=y-4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=1x +0y +5\\
y'=0x +1y -4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0\\0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}$
同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &5\\0 &1 &-4\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
b.のアフィン変換
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=\frac{1}{2}x\\
y'=\frac{1}{2}y
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=\frac{1}{2}x +0y +0\\
y'= 0x +\frac{1}{2}y +0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} &0\\0 &\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} &0 &0\\0 &\frac{1}{2} &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
c.アのアフィン変換
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x\\
y'=-y+6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=1x +0y+0\\
y'=0x -1y+6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0\\0 &-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0\\0 &-1 &6\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
c.イのアフィン変換
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=-x+6\\
y'=y
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=-1x +0y +6\\
y'= 0x +1y +0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0\\0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}$
同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0 &6\\0 &1 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
エキスパート24年前期1問の解説
Matrix Explanation
- Y方向の正の方向に平行移動 → $c=0, f=$正の数
変形がない → 3×3行列の要素のうち $abde=1001$(単位行列)
答えは$M_2$(イ) - Yの正の方向への平行移動と$-45^\circ$回転の合成
平行移動と回転はどっちが先か?
回転は原点中心なので、平行移動→$-45^\circ$回転 だとオブジェクトの中心はY軸から外れるので誤り
正解は $-45^\circ$回転→平行移動
$-45^\circ$は一見して $M_4$または$M_5$、負の回転(時計回り)なので3×3行列の$d=-\sin\theta<0$となっている $M_5$
つまり $M_5$→$M_2$
ただし変換行列は $P'=M_2 M_5 P$ というように右から順にかかっていく
よって合成変換は $M_2 M_5$ (ウ) - Yの正の方向への平行移動と$+45^\circ$回転の合成
ただし今度は、平行移動→$+45^\circ$回転
$+45^\circ$回転は $M_4$
つまり $M_2$→$M_4$
ただし変換行列は $P'=M_4 M_2 P$ というように右から順にかかっていく
よって合成変換は $M_4 M_2$ (オ) - Y軸対称、Yの正の方向への平行移動、$+45^\circ$回転の合成
つまり $M_3$→$M_2$→$M_5$
よって合成変換は$M_3$→$M_2$→$M_5$(イ)
(図3を更にY軸対称しても得られるが $M_5$→$M_2$→$M_3$ は解答群にない。)
【事後学習】公式問題集のエキスパート、ベーシック共に各回の第1問は座標変換の問題です。これらの問題を全て解けるようになってください。