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Open Media Lab.
オープンメディアラボ

$$ \newcommand\Vec[1]{\overrightarrow{\rm{#1}}} $$
  1. 平行四辺形 $\rm{ABCD}$ において、$\overrightarrow{\rm{AC}}=\vec p$、$\overrightarrow{\rm{BD}}=\vec q$ とするとき、次のベクトルを $\vec p$、$\vec q$ で表せ。
    1. $\overrightarrow{\rm{AD}}$
    2. $\overrightarrow{\rm{CD}}$
  2. $\triangle\rm{ABC}$ において、辺 $\rm{AB}$ を$1:3$の比に内分する点を $\rm{D}$ 、辺 $\rm{AC}$ の中点を $\rm{E}$ とし、線分 $\rm{BE}$ 、 $\rm{CD}$ の交点を $\rm{F}$ とする。
    1. $\overrightarrow{\rm{AF}}$ を、$\vec b=\overrightarrow{\rm{AB}}、\vec c=\overrightarrow{\rm{AC}}$ を用いて表せ。
    2. 点 $\rm{F}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c$ を用いて表せ。
  3. 2点 $\rm{A}(1, 2, 3)、\rm{B}(2, 0, 1)$ について、次のものを求めよ。
    1. ベクトル $\overrightarrow{\rm{AB}}$ の成分
    2. 2点 $\rm{A}、\rm{B}$ の距離
    3. 線分 $\rm{AB}$ を$1:2$の比に内分する点
    4. 線分 $\rm{AB}$ を$1:2$の比に外分する点
  4. $|\vec a|=3, |\vec b|=5、|\vec a-\vec b|=\sqrt{19}$ であるとき、$\vec a$ と $\vec b$ のなす角を求めよ。
  5. ベクトル $\vec a = (1, 3)$ に垂直で、大きさが $3\sqrt{10}$ のベクトルを求めよ。
  6. 平面上に原点 $\rm{O}$ と点 $\rm{A}(3, 1)$、点 $\rm{B}(1, 2)$ がある。
    1. $\angle \rm{AOB}$ の2等分線上の任意の点を$\rm{P}$$(x, y)$として、$\overrightarrow{\rm{OA}}、\overrightarrow{\rm{OB}}、\overrightarrow{\rm{OP}}$ の間に成り立つベクトル方程式を示せ。
    2. $\angle \rm{AOB}$ の2等分線を示す方程式を求めよ。
  7. 2点 $\rm{A}(2, 1)、\rm{B}(-1, 3)$ を通る直線について次の問いに答えよ。
    1. 直線上の任意の点を$\rm{P}$とし媒介変数 $t$ を用いて、$\overrightarrow{\rm{AP}}$ と $\overrightarrow{\rm{AB}}$ との間に成り立つベクトル方程式を示せ。
    2. 同様に、$\overrightarrow{\rm{OP}}$ と $\overrightarrow{\rm{OA}}$ と $\overrightarrow{\rm{OB}}$ との間に成り立つベクトル方程式を示せ。
    3. 点 $\rm{P}$の座標$x, y$を、媒介変数 $t$ を用いて表せ。
    4. 直線の方程式を求めよ。
  8. 空間に4点、$\rm{A}(1, 1, 2)、\rm{B}(-2, 3, 1)、\rm{C}(-3, 2, -1)、\rm{D}(2, 4, -2)$がある。
    1. $\triangle \rm{ABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル
    2. $\triangle \rm{ABC}$の面積を求めよ。
    3. 四面体$\rm{ABCD}$の体積を求めよ。
    4. $\triangle \rm{ABC}$を底面とする四面体$\rm{ABCD}$の高さを求めよ。

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